Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
intendendo che l’indice i assuma il valore 1 per x < ξ e il valore 2 per x > ξ,
cosicché il problema è ormai ridotto alla determinazione delle grandezze
a1(ξ), b1(ξ), a2(ξ), b2(ξ) costanti rispetto a x. Esse si determinano mediante
le condizioni ai limiti G = 0 per x = 0 e x = ∞, la condizione di
discontinuità (4.74) per x = ξ e la condizione di ortogonalità fra la funzione
di Green e la soluzione χ dell’equazione omogenea che soddisfa alle
condizioni ai limiti. La condizione G(0, ξ) = 0 importa:
La condizione G(∞, ξ) = 0 è soddisfatta se:
Dalla condizione (4.74) segue
b1 = 0. (4.82)
b2 = − ξ e −ξ . (4.83)
(a1 − a2) χ ′ (ξ) + (b1 − b2) χ ′ 1(ξ) = 1, (4.84)
cioè, tenuto conto di (4.82) e (4.83):
ed eseguiti i calcoli:
a2 = a1 + ξ e −ξ
a2 = a1 + ξ e −ξ χ ′ 1(ξ)
χ ′ (ξ) −
ξ
0
e 2ξ − 1
ξ
1
χ ′ ; (4.85)
(ξ)
dξ + ξ e −ξ log ξ − eξ
. (4.86)
2
Lasciando ancora indeterminata a1, abbiamo così le seguenti espressioni
per la funzione di Green secondo che x < ξ o x > ξ:
G(x, ξ) = ξ e −ξ
2x e −x
x
e
0
2x − 1
dx − e
x
x
+ 1 + 2x − 2x 2 e −x
+ 2 a1(ξ) x e −x , x < ξ; (4.87)
G(x, ξ) = x e −x
2ξ e −ξ
ξ
e 2ξ − 1
dξ − e
ξ
ξ
0
+ ξ e −ξ 1 + 2x − 2x 2 + 2ξ e −ξ x e −x (log ξ − log x)
+ 2 a1(ξ) x e −x , x > ξ. (4.88)
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