Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
(δH21 si ottiene da δH12 cangiando i in −i solo sotto il segno dell’integrale),
mentre naturalmente
δH21 = δH12. (3.573)
Nel nostro caso essendo y 1 reale, si ha δH12 = δH21 = 0. Gli autovalori
della matrice di perturbazione coincidono allora e si ha semplicemente
δWn = δH11 = δH22. (3.574)
L’elettrone rotante non spezza il termine originariamente semplice. I due
livelli degenerati sono tuttavia separati dal campo magnetico. Senza campo
magnetico tutti i livelli sono almeno doppi, non solo in prima approssimazione,
ma esattamente perché in tal caso da una soluzione delle (3.558)-
(3.561) se ne ottiene un’altra ponendo
ψ ′ 1 = − ψ ∗ 2, ψ ′ 2 = ψ ∗ 1, ψ ′ 3 = ψ ∗ 4, ψ ′ 4 = − ψ ∗ 3. (3.575)
Poiché δWn senza campo e senza degenerazione è uguale a δH11, la sua
espressione data dalla (3.571) consta di due termini di cui il primo rappresenta
la correzione relativistica e il secondo rappresenta la correzione per
l’elettrone rotante.
Come esempio calcoliamo la correzione in seconda approssimazione per
l’energia dello stato fondamentale di un atomo di carica Z con un solo
elettrone; si avrà:
Wn = − Z 2 R h = − me4Z 2
22 y 1 = c e −Zr/a = e 3 mZ/ 3 √ πmZ e −me2Zr/ 2
(3.576)
(3.577)
δWn = − 5 W
2
2 n
mc2 + 2 W 2 n
mc2 1 W
= −
2
2 n
.
mc2 (3.578)
L’effetto di relatività è ridotto a un quinto a causa dell’elettrone rotante.
Deduciamo la (3.578) dalla nota formola della struttura fina: struttura fina
W
mc2 =
1 +
α 2 Z 2
(n − j − 1/2 + (j + 1/2) 2 − α2Z 2 ) 2
−1/2 − 1 (3.579)
essendo n il quanto principale e α = e 2 /c la costante di struttura fina.
Sviluppando in serie e fermandosi alla seconda approssimazione e indicando
con Wn = −R hZ 2 /n 2 il termine Balmeriano:
W = Wn −
2n
j + 1/2
325
2
3 Wn − , (3.580)
2 mc2