Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Lo stato fondamentale è determinato dalle condizioni m = 0 e mancanza
di nodi in P e Q. Avremo quindi, ponendo 2ɛ in luogo di F per indicare
che il campo è piccolo:
F = 2 ɛ (4.27)
P ′′ + 1
ξ P ′ + 1
Z + λ
E + − ɛ ξ P = 0
2 ξ
Q ′′ + 1
η Q′ + 1
(4.28)
Z − λ
E + + ɛ η Q = 0.
2 η
Poniamo:
P = u e −√ −E/2 ξ , Q = v e − √ −E/2 η . (4.29)
La prima delle (4.28) diventa
u ′′ + u ′
1
− 2 −
ξ E
⎛
⎜ Z + λ − 2 −
+ u ⎜
2 ⎝
E
2
2ξ
⎞
− ɛ
2 ξ
⎟
⎠ = 0, (4.30)
e un’equazione analoga che deriva dalla seconda delle (4.28) si ottiene
sostituendo u e ξ rispettivamente con v e η e cangiando segno a λ e ɛ.
Dalle conseguenze che tireremo dalla (4.30) se ne deducono quindi altre
operando le dette sostituzioni. Nello stato fondamentale e in assenza di
campo (ɛ = 0), si ha λ = 0, E = −Z 2 /2, u = 1 (a meno di un fattore di
normalizzazione). Quando è presente il campo porremo
u = 1 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + . . . ; (4.31)
e a causa della (4.30) i coefficienti si determinano dalla relazione:
an = 1
2n2
(2n − 1) √
−2E − (Z + λ) an−1 + ɛ
an−3.
2n2 (4.32)
Ma non possiamo più imporre la condizione che u sia un polinomio finito,
anche perché in campo elettrico non esistono stati discreti rigorosamente
stazionari. Occorre perciò seguire un metodo di successive approssimazioni
soddisfacendo alla condizione che u sia un polinomio finito a meno di termini
che tendono a zero con ɛ più rapidamente di ɛ n ; ciò significa trascurare
non quantità assolutamente piccole ma quantità che divengono apprezzabili
a distanza tanto maggiore dal nucleo quanto più è piccolo ɛ. Porremo
dunque
an = a (0)
n + ɛ a (1)
n + ɛ 2 a (2)
n + ɛ 3 a (3)
n + . . . , (4.33)
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