Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
gruppo. Riducendo questa si otterrà ns volte la rappresentazione χs, se ns
è il valor medio di χj·χ ∗ s preso negli elementi del nostro gruppo. I caratteri
Dj valgono sin(2j + 1)ω/ sin ω, se ω = α/2 è la metà dell’angolo di
rotazione. Per le 5 classi del nostro gruppo avremo quindi ordinatamente
come valori di χj
2 j + 1, (−1) j , (−1) j ;
1 − resto di j
j
, 1 + resto di
3 2
− resto di j
4 .
Abbiamo così tutti gli elementi per il calcolo delle frequenze ns delle singole
rappresentazioni irriducibili; considerando queste nell’ordine che risulta
dalla tabella del §4.7, per f = 4, si trova
resto di j
− 1
resto di
3
j
3
n1 = j 1
+ 1 −
12 2
2
− 1
resto di
4
j
(4.219)
4
n2 = j
1
− resto di
4 2
j
+
2
1
resto di
4
j
(4.220)
4
n3 = j
1
− resto di
6 2
j
+
2
1
resto di
3
j
(4.221)
3
n4 = j
4 +
resto di j
−
2
1
resto di
4
j
(4.222)
4
n5 = j
1
− resto di
12 3
j
+
3
1
resto di
4
j
. (4.223)
4
Badando che i gradi delle rappresentazioni irriducibili sono ordinatamente
1,3,2,3,1, si ha naturalmente
n1 + 3 n2 + 2 n3 + 3 n4 + n5 = 2 j + 1. (4.224)
Si constaterà che al limite per grandi valori di j la frequenza con cui si
presentano le varie irriducibili è proporzionale ai loro gradi, come nella
rappresentazione normale. Noti i valori ns per un certo valore di j si passa
immediatamente a quelli corrispondenti a j + 12q mediante la tabella:
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