Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.35 Casi particolari: ellissoide con un
asse molto allungato; ellissoide
rotondo
I. – Supponiamo a, b ≪ c. L’espressione:
se si pone
diventa:
∞
0
∞
0
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t)
t1 = 1
t +
2
(a2 + t)(b2
+ t) − a b
dt1
2
(1/4)(a + b) + t1 (c2 + t1)
(1.322)
(1.323)
c2 + t1
. (1.324)
c2 + t
Ora la differenza tra t e t1 è dell’ordine a 2 o b 2 e, poiché c è molto maggiore
di a o di b, il fattore (c2 + t1)/(c2 + t) che sta sotto il segno integrale al
secondo membro è sempre molto prossimo all’unità. Tenuto conto che gli
altri fattori sono di segno costante, al limite, per c grandissimo, si potrà
scrivere
∞
0
=
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) =
∞
0
dt1
2
(1/4)(a + b) + t1 (c2 + t1)
2
c2 − (1/4)(a + b) 2 log c + c2 − (1/4)(a + b) 2
, (1.325)
(1/2)(a + b)
ovvero, poiché il procedimento seguito vale solo per formole limiti di prima
approssimazione:
∞
0
dt
=
(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t) 2
c log
Il potenziale dell’omeoide di massa m sarà:
U0 =
m K
c
69
log
4c
a + b
4c
. (1.326)
a + b
(1.327)