Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.25 Moto kepleriano piano perturbato
Sia un punto di massa 1 attratto con forza M/r 2 verso un centro fisso O.
L’equazione della traiettoria è:
r =
essendo k, e e α costanti. Infatti, se si pone:
k = r2V 2
t
M
e =
kVr
α = θ − arctan
(k − r)Vt
= θ − arcsin k Vr
re Vt
k
, (2.339)
1 + e cos(θ − α)
(k − r) 2 2 Vt + k2V 2
r
kM
= θ − arccos
k − r
re ,
(2.340)
essendo Vr e Vt le velocità, radiale e trasversa, e si sostituisce in (2.339)
questa risulta identicamente soddisfatta; inoltre le k, e, α date dalla (2.340)
sono costanti. Infatti:
r 4 ˙ θ 2
˙k = d
dt M = 2R3θ˙ M
˙e = 1
− k
e
˙r
r2
k
− 1
r
=
k ˙r
eM
˙α = ˙ θ −
¨r − r ˙ θ 2 + M
r2
r e Vt
k ˙r
2 ˙r ˙ θ + r¨
θ
+ k
M
= k ˙r
k ˙r
er2 = ˙ θ − Vt
r
˙r ¨r
eM
= 0.
Si deducono l’espressione del semiasse maggiore:
a =
=
k
=
1 − e2 = 2r3 ˙ θ
M
ar + M
r 2
k 2 M
kM − (k − r) 2V 2
t − k2V 2
r
k 2 M
kM − k 2 V 2 + 2krV 2
t − kM =
151
at = 0
= 0
M
2M/r − V 2
(2.341)