Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

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Volumetto 4: 24 aprile 1930
σ ρ1 + ρ3
√
2
= ρ1 + ρ3
√
2
σ. (4.242)
Al contrario, uno stesso operatore γ, è rappresentato da ρ3 in R1 e da ρ1
in R2 e un secondo operatore γ1 è rappresentato d ρ1 in R1 e da ρ3 in R2.
L’equazione di Dirac può così scriversi in entrambe le rappresentazioni:
W
c + γ (ξ·p) + γ1
m c ψ = 0. (4.243)
Gli operatori ξ e γ trasformano fra loro le combinazioni delle quattro onde
piane corrispondenti a dai valori di p. Le matrici che li rappresentano sono
naturalmente diverse secondo che si considerino come vettori unitari ortogonali
le onde piane normalizzate (4.233), cioè le y i p, ovvero le onde piane
normalizzate (4.235), cioè le z i p, le matrici corrispondenti al secondo caso
ottenendosi da quelle corrispondenti al primo per trasformazione mediante
S [da non confondere con lo spin (4.240) S = (Sx, Sy, Sz)].
Nel primo caso (onde piane y i p) abbiamo:
(i) Sz =
⎛
⎝
s a z
b †
sz s b z
s c z
⎞
⎠, Sx =
⎛
⎝
s a x
b †
sx s b x
s c x
⎞
⎠, Sy =
in cui le sotto-matrici sono date da [(aij) † = (aji) ∗ ]
s a z
s b z
=
=
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜ −2
⎜
⎝
2
2 + B 2 − BB ′
B(B + B ′ )
px + ipy
2 mc
B(B + B ′ )
BB ′ − 1
(B + B ′ ) √ BB ′
px + ipy
mc
(B + B ′ ) √ BB ′
px − ipy
2 mc
B(B + B ′ )
2 + B 2 − BB ′
B(B + B ′ )
2
2
⎞
⎟
⎠
px − ipy
mc
(B + B ′ ) √ BB ′
BB ′ − 1
(B + B ′ ) √ BB ′
401
⎞
⎟
⎠
⎛
⎝
s a y
b †
sy s b y
s c y
⎞
⎠
(4.244)