Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Segue:
Volumetto 2: 23 aprile 1928
dSn
dx
x 2 dSn
dx
= 1
4π
= 1
4π
4π
0
2
4πx
0
grad r n ·u dω (2.717)
grad r n ·u dσ, (2.718)
essendo u un vettore unitario normale alla sfera. Segue dalla (2.718),
x 2 dSn
dx
d
x
dx
2
dSn
dx
cioè
d 2 Sn
dx2 2
+
x
che si può anche scrivere:
= 1
4π
=
= n(n + 1)
1
4π
3
4πx
grad
0
2 r n dS
3
4πx
0
4π
n(n + 1) r n−2 dS (2.719)
4πx 2
0
r n−2 dσ
= n(n + 1) x 2 Sn−2. (2.720)
dSn
dx
D’altra parte, la (2.717) si può scrivere:
dSn
dx
= n(n + 1) Sn−2, (2.721)
1 d
x
2 (xSn)
dx2 = n(n + 1) Sn−2. (2.722)
= 1
4π
4π
0
n r n−1 r 2 + x 2 − 1
2xr
dω, (2.723)
cioè:
dSn n
=
dx 2x Sn
1 − x2
− n
2x Sn−2. (2.724)
Derivando ancora rispetto a x e sostituendo nella (2.721), si ricava la relazione
in termini finiti:
(n + 2) Sn − 2n (1 + x 2 ) Sn−2 + (n − 2) (1 − x 2 ) 2 Sn−4 = 0. (2.725)
Le equazioni (2.722) e (2.725), quando si aggiungano le ovvie relazioni:
S0 = 1, S−1 = 1, Sn(0) = 1, (2.726)
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