Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Se poniamo
ψ1 =
Volumetto 4: 24 aprile 1930
−ψx + iψy
√ , ψx =
2
ψ2 = ψz, ψy =
ψ3 =
ψx + iψy
√ , ψz = ψ2,
2
ψ3 − ψ1
√ ,
2
ψ1 + ψ3
√ ,
2
e riguardiamo ψx, ψy, ψz come componenti di ψ; si ha
e la (4.389) si scrive semplicemente:
1
i
(4.390)
(s·grad ) ≡ rot , (4.391)
rot ψ + k ψ = 0. (4.392)
Le soluzioni di (4.392) sono di due tipi: per k = 0 si ha div ψ = 0, per
k = 0 rot ψ = 0 e quindi ψ = grad Φ, essendo Φ completamente arbitrario.
Nel primo caso, badando che:
sarà
rot rot = grad (div) − ∆ , (4.393)
∆ ψ + k 2 ψ = 0, (4.394)
con la condizione aggiunta div ψ = 0. Le soluzioni di (4.394) ortogonali
alle soluzioni precedenti si pongono nella forma ψk = grad Φk, essendo
∆ Φk + k 2 Φk = 0, (4.395)
e tutte insieme soddisfano alla (4.392) corrispondentemente all’unico autovalore
k = 0. [Considerando soluzioni di (4.394) relative a un determinato
k = 0, si ha infatti (grad (div)) 2 = k 2 grad (div), cosicché gli autovalori
di grad (div) possono essere k 2 e 0; nel secondo caso sarà (rot) 2 = k 2 e
quindi rot = ±k, abbiamo cioè soluzioni di (4.392) per k = 0 e quindi
sarà divψ = 0. Nel primo caso sarà (rot) 2 = 0 e quindi rot ψk = 0, e così
ψk = grad Φk.]
Ritorniamo ora alla rappresentazione originaria delle componenti di ψ
e riprendiamo la (4.389) supponendo k diverso da zero. Da quanto si è
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