Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Se Ws indica l’energia accumulata al tempo t nell’oscillatore s l’energia
totale accumulata sarà:
Ws =
νs=M
Ws dN = 8π
c3 M
Ws ν 2 Ω dνs. (2.239)
s
νs=0
L’integrale va esteso fino a un limite arbitrario ma finito perché nel dedurre
le formole precedenti abbiamo ammesso a priori che le lunghezze
d’onda eccitate siano di grande lunghezza d’onda rispetto all’ampiezza
dell’oscillazione dell’elettrone; è quindi da escludere che le frequenze pos-
sano superare qualunque limite. Ora
s
Ws tende a crescere linearmente
col tempo e quindi a superare qualunque limite; d’altra parte ogni Ws ha
un massimo come si deduce dalla (2.238), ciò che non è in contraddizione
con quanto si è detto, perché se nell’integrale nella (2.239) si sostituiscono
alle Ws i loro valori massimi, l’integrale diviene divergente; rimane invece
convergente se dal campo di integrazione si toglie un piccolo intervallo contenente
ν0. Segue che dopo un tempo abbastanza lungo la massima parte
della radiazione emessa sarà concentrata in un intervallo di frequenze contenenti
ν0 piccolo quanto si vuole. Le frequenze νs che interessano differiscono
dunque poco da ν0, così che nella (2.238) sostituiremo a (νs + ν0)/2, ν0. 31
Avremo:
qs =
e b
mc
2 sp0
8π2ν0(νs − ν0)
× 2 sin π(νs − ν0)t cos 2πν0t − νs − ν0
0
ν0
sin 2πν0t . (2.245)
L’ultimo termine è trascurabile poiché, come si vedrà, fissato t grande, il
campo di frequenze in cui la radiazione ha un valore sensibile è dell’ordine di
1/t e quindi il primo termine in parentesi è dell’ordine dell’unità in generale,
mentre il secondo è piccolo quanto si vuole allorché t tende all’infinito.
Segue al limite:
qs =
e
mc
b x s p0
4π2 sin π(νs − ν0)t
cos 2πν0t (2.246)
ν0 νs − ν0
31Il manoscritto originale continua come segue: “Possiamo anche sostituire
sin 2π(νs − ν0)/2 con 2π(νs − ν0)/2. Avremo
qs = e bsp0
mc 4π2 (ν2 s − ν2 0 )
2π(νs − ν0)t cos 2πν0t − νs − ν0
ν0
sin 2πν0 .
(2.240)
138