Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
A riprova calcoliamo y ′ e y ′′ :
y ′ = − x e −x + 1
2 x2 e −x − e −x
x
0
x
+ e −x
e 2x − 1
2x
dx1
x1
0
e 2x2 − 1
dx2
2x2
dx (2.522)
0
y ′′ = − e −x + 2x e −x − 1
2 x2 e −x + e −x
x x1 e
dx1
0
0
2x2 − 1
dx2
2x2
− 2 e −x
x
e
0
2x − 1
dx +
2x
ex − e −x
. (2.523)
2x
Ora
x
0
dx1
x1
0
e 2x2 − 1
dx2 = x
2x2
x
così che le formole precedenti diventano:
y = x e −x
x
e 2x − 1
2x
0
y ′ = (1 − x) e −x
x
y ′′ = (x − 2) e −x
x
segue che
0
dx − 1
4 ex +
e 2x − 1
2x
1
4
dx − 1
4 e2x + 1 1
x +
2 4 ,
1 1
+ x −
2 2 x2
e −x
(2.524)
e
0
2x − 1
dx +
2x
1
4 ex
+ − 1 3 1
− x +
4 2 2 x2
e −x
(2.525)
e
0
2x − 1
dx + e
2x
x
1 1
−
2x 4
+ e −x
− 1 3 5 1
− + x −
2x 4 2 2 x2
, (2.526)
y ′′ =
1 − 2
y + x e
x
−x , (2.527)
cioè l’equazione differenziale (2.503) è soddisfatta. Inoltre manifestamente:
come si desiderava. Per x → ∞ si ha:
x
0
e 2x − 1
2x
dx
y(0) = y ′ (0) = 0, (2.528)
182