Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 5
sarà p una funzione singolare per t = 0 e che si annulla per t > 0 e t < 0.
La funzione A1 è precisamente quella soluzione particolare di (5.185) che
si lascia porre nella forma (5.169). Quanto alla funzione singolare p(q, t)
essa è costituita da uno strato semplice giacente in t = 0 di densità:
s0 = 1
c 2 ˙ A(q, 0) (5.186)
e da un doppio strato giacente nello stesso spazio t = 0 di densità:
s1 = − 1
A(q, 0). (5.187)
c2 Sostituendo in (5.169) e badando a (5.184), si avrà per t > 0
A(q, t) = 1
4πt
− ∂
∂t
1
4πt
essendo
4πc 2 t 2
0
2 2
4πc t
0
s0(q ′ ) dσ − cλ
4π
s1(q ′ ) dσ − cλ
4π
4 3 πc 3 t 3
0
4 πc
3 3 t 3
0
I1(ɛ)
ɛ
I1(ɛ)
ɛ
s0(q ′ ) dq ′
s1(q ′ ) dq ′
, (5.188)
ɛ = λ(c 2 t 2 − R 2 ), (5.189)
mentre gli integrali sono estesi sulla superficie sferica o all’interno della
sfera di raggio ct e centro q.
Sostituendo a s0(q) e s1(q), le loro espressioni (5.186) e (5.187) si trova
dopo qualche trasformazione:
A(q, t) =
+ R ∂A(q′ , 0)
∂R
− 1
λc2 I1(ɛ)
t ɛ
2 2
4πc t
1
t
0
˙ A(q ′
, 0) + 1 − λR2
A(q
2
′ , 0)
dσ + λ2 4 πc
ct 3
4π
3 t 3 ′
I1(ɛ) − ɛI 1(ɛ)
0
ɛ3 A(q ′ , 0)
˙A(q ′
, 0) dq ′
(t > 0). (5.190)
4πc 2 t 2
In questa espressione ∂/∂R significa derivata secondo la normale esterna
alla sfera di raggio ct.
In modo analogo si può ottenere A per t < 0 utilizzando le soluzioni
particolari (5.181) della (5.166). Il risultato si può prevedere senz’altro
data l’invarianza della (5.182) rispetto all’inversione dell’asse temporale; si
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