Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

cioè:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
η ∗ 1 = α η ∗ + β (− ξ ∗ ) , − ξ ∗ 1 = − β ∗ η ∗ + α ∗ (− ξ ∗ ) , (3.644)
cioè (ξ, η) si trasformano come (η ∗ , −ξ ∗ ). Cambiando segno alla prima
delle (3.642), si ha:
η1 = α ∗ η + β ∗ (− ξ) , − ξ ∗ 1 = − β η + α (− ξ) , (3.645)
cioè inversamente, a causa di (3.643), (ξ ∗ , η ∗ ) si trasformano come (η, −ξ).
Segue che (x + iy, x − iy, z) si trasformano come (η 2 , −ξ 2 , ξη) o (−ξ ∗2 , η ∗2 ,
ξ ∗ η ∗ ):
x + i y ∼ η 2 , x − i y ∼ − ξ 2 , z ∼ ξη (3.646)
x + i y ∼ − ξ ∗2 , x − i y ∼ − η ∗2 , z ∼ ξ ∗ η ∗ . (3.647)
Se (ξ ′ , η ′ ) si trasformano come (ξ, η), si avrà anche:
x + i y ∼ 2η ′ ξ ∗ , x − i y ∼ 2ξ ′ η ∗ , z ∼ ξ ′ ξ ∗ − η ′ η ∗
(3.648)
x + i y ∼ η ′2 , x − i y ∼ − ξ ′2 , z ∼ ξ ′ η ′ . (3.649)
Moltiplicando l’invariante (3.631) per i secondi membri delle (3.647), o
(3.648), o (3.649), si ottengono ogni volta la componenti di una grandezza
vettoriale, le quali si trasformano come x + iy, x − iy, z.
Poniamo dapprima in (3.641) k = 2j − 2 = 2j ′ , con cui ci riferiamo al
primo dei casi (3.639) e moltiplichiamo per (3.647); ne risultano le formole
Hermitiane:
(qx + i qy) (m, m ′ ) x ∗ m x ′ m ′
essendo:
xm =
x ′ m ′ =
(qx − i qy) (m, m ′ ) x ∗ m x ′ m ′
qz(m, m ′ ), x ∗ m x ′ m ′
(3.650)
ξ j−m η j+m
(j − m)!(j + m)! , m = j, j − 1, . . . , −j (3.651)
ξ ′j′ −m ′
η ′j′ +m ′
(j ′ − m ′ )!(j ′ + m ′ )! , m ′ = j ′ , j ′ − 1, . . . , −j ′ , (3.652)
e trasformandosi quindi i monomi x ∗ mx ′ m ′ secondo Dj×Dj ′. Segue che le
(3.650) sono, a meno di un fattore costante, le componenti del vettore
(3.628) nel caso j → j ′ = j − 1. Eseguendo effettivamente i prodotti
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