Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

cioè:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
z1 = (x2 + λ 2 − µ 2 − ν 2 )(ξξ ∗ − ηη ∗ )
ξξ ∗ + ηη ∗
+ 2 (−xµ + λν + ixν + iλµ)ηξ∗ + (−xµ + λν − ixν − iλµ)ξη ∗
ξξ∗ + ηη∗ ,
x1 + iy1 = 2 (xµ + λν + ixν − iλµ) z
+ (x 2 − λ 2 − 2ixλ)(x + iy) + (−µ 2 + ν 2 − 2iµν)(x − iy)
x1 − iy1 = 2 (xµ + λν − ixν + iλµ) z
cioè:
+ (x 2 − λ 2 + 2ixλ)(x − iy) + (−µ 2 + ν 2 + 2iµν)(x + iy)
z1 = (x 2 + λ 2 − µ 2 − ν 2 ) z + 2 (−xµ + λν + ixν + iλµ)(x + iy)
+ (−xµ + λν − ixν − iλµ)(x − iy),
x1 = (x 2 − λ 2 − µ 2 + ν 2 )x + 2(xλ − µν)y + 2(xµ + λν)z
y1 = −2(xλ + µν)x + (x 2 − λ 2 + µ 2 − ν 2 )y + 2(xν − λµ)z
z1 = 2(−xµ + λν)x + 2(−xν − λµ)y + (x 2 + λ 2 − µ 2 − ν 2 )z.
(3.497)
che rappresenta una rotazione nello spazio a tre dimensioni e in verità la più
generale rotazione; anzi per ogni rotazione nello spazio si possono scegliere
in due modi le costanti x, λ, µ, ν che si deducono l’uno dall’altro mediante
cambiamenti di segni delle componenti del quaternione. Le equazioni
(3.497) non sono altro che la rappresentazione D1 del gruppo SU(2). Invertendola
(con che perde l’univocità) si possono considerare Dj come rappresentazioni
di O(3); e saranno univoche quelle con j intero perché in tali
rappresentazioni a due quaternioni uguali e opposti corrisponde la stessa
trasformazione, duplici quelle con j non intero. In queste ultime, tra le
quali Dj, che deriva dall’inversione di (3.497), a ogni rotazione nello spazio
tridimensionale corrispondono due matrici uguali e opposte. Una rotazione
di un angolo infinitesimo ɛ intorno all’asse z corrisponde (scegliendo dei due
quaternioni possibili, uguali e opposti, quello prossimo all’unità) il quaternione:
1, − 1
ɛ, 0, 0 .
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