Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
p dispari due rappresentazioni irriducibili del secondo tipo con
n1 = n2 = 2 p−1
2 = 2 k , p = 2k + 1. (3.549)
Poiché una rappresentazione in cui sono soddisfatte le (3.543) si scompone
in rappresentazioni irriducibili del secondo tipo si comprende l’affermazione
del teorema (si veda il paragrafo Operatori non Hermitiani), che cioè
il problema di trovare p matrici di ordine n soddisfacenti alla (3.543) ammette
soluzioni solo se n è divisibile per 2 k ; si comprende inoltre come
questa soluzione è unica (a meno di trasformazioni) se p è pari, perché
unica è la scomposizione possibile in matrici irriducibili, mentre vi sono
n/2 k + 1 soluzioni fondamentali se p è dispari perché nella scomposizione
della rappresentazione di ordine n in rappresentazioni irriducibili di secondo
tipo, essendo queste due dello stesso ordine 2 k , una di esse può entrare
un numero intero di volte da 0 a n/2 k .
Quando n è multiplo di 2 k , si possono adattare le coordinate alla scomposizione
in rappresentazioni irriducibili e si ottengono allora per le α matrici
che sono più semplici di quelle considerate nella trattazione diretta perché
si spezzano in matrici parziali di ordine 2 k che con opportuna scelta delle
coordinate si riconducono a quelle già considerate per il caso n = 2 k . (Vedi
per la connessione delle matrici di Dirac con il gruppo di Lorentz, al luogo:
Invarianza delle equazioni di Dirac.) 16
3.19 Elettrone rotante
Scriviamo le equazioni di Dirac sotto la forma:
α1
H ψ ≡ mc +
i
W e
+
c c φ
+ α2 px + e
c Ax
+ α3 py + e
c Ay
+ α4 pz + e
c Az
+ mc
ψ = 0, (3.550)
i
in cui le α sono le prime quattro delle α considerate nel paragrafo 3.18
sotto n = 4, p = 5. Sia H1 l’operatore che si ottiene da H scambiando
16 Nonostante il riferimento con cui l’Autore chiude questo paragrafo, nei cinque
Volumetti non v’è alcuna sezione che tratti questo argomento.
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