Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Dalle ultime tre (la prima ne è naturalmente conseguenza), si deducono
gli sviluppi fino al secondo ordine di x, y, z. Sostituendo nella (3.432), si
trova che fino agli infinitesimi di primo ordine è identicamente soddisfatta,
mentre uguagliando gli infinitesimi di secondo ordine si ha:
(cb ′ − bc ′ )P1 + (ac ′ − ca ′ )P2 + (ba ′ − ab ′ )P3
+ 1 ′ 2 2
(a + a ) P1 + (b + b
2
′ ) 2 P 2 2 + (c + c ′ ) 2 P 2 3
+(a + a ′ )(b + b ′ )(P1P2 + P2P1) + (b + b ′ )(c + c ′ )(P2P3 + P3P2)
+(c + c ′ )(a + a ′ )(P3P1 + P1P3)
= 1 ′ 2 2
(a + a ) P1 + (b + b
2
′ ) 2 P 2 2 + (c + c ′ ) 2 P 2 3
+(a + a ′ )(b + b ′ )(P1P2 + P2P1) + (b + b ′ )(c + c ′ )(P2P3 + P3P2)
+(c + c ′ )(a + a ′ )(P3P1 + P1P3) + (ab ′ − ba ′ )(P1P2 − P2P1)
+(bc ′ − cb ′ )(P2P3 − P3P2) + (ca ′ − ac ′ )(P3P1 − P1P3) . (3.437)
Poiché queste relazioni devono essere soddisfatte per valori arbitrari delle
costanti, si deducono le relazioni di scambio:
P1P2 − P2P1 = −2P3
P2P3 − P3P2 = −2P1 (3.438)
P3P1 − P1P3 = −2P2.
Consideriamo le rappresentazioni Dj del gruppo U(2) le quali consistono
in trasformazioni agenti sul vettore (3.414). Il vettore di componenti:
ξ r η v−r
r!(v − r)!
è trasformato da P3 nel vettore di componenti
d (ξ − iɛη)
dɛ
r (η + iɛξ) v−r
=
r!(v − r)!
r i ξr−1 η v−r+1
r!(v − r)!
+ (v − r)ξr+1 η v−r−1
r!(v − r)!
+ i (r + 1)(v − r)
ɛ=0
= i r(v − r + 1)
ξ r+1 η v−r−1
(r + 1)!(v − r − 1)! ,
289
ξ r−1 η v−r+1
(r − 1)!(v − r + 1)!