Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
la funzione di Green soddisfa all’equazione differenziale
L G(x, ξ) = 4x e −x ξ e −ξ , (4.73)
ed inoltre deve avere una discontinuità nella derivata prima per x = ξ in
modo che sia:
d
G(x, ξ)
dx x=ξ+0
Poniamo
−
d
G(x, ξ)
dx x=ξ−0
= − 1. (4.74)
G(x, ξ) = 4ξ e −ξ p(x, ξ) (4.75)
e riguardiamo per il momento p come funzione di x essendo ξ costante.
Avremo per la (4.74):
L p = x e −x . (4.76)
La soluzione generale di (4.76) si ottiene aggiungendo a una soluzione particolare
la soluzione generale dell’equazione omogenea
L p = 0. (4.77)
La soluzione generale di (4.76) è a sua volta combinazione lineare di due
(soluzioni) indipendenti di cui l’una è la stessa χ data da (4.69) e l’altra
può essere notoriamente:
χ1 = χ
dx
χ 2 = − ex + 2x e −x
2x
e
dx (4.78)
x
od anche, poiché possiamo fissare arbitrariamente il limite inferiore dell’integrale:
χ1 = 2x e −x
x
0
0
e 2x − 1
x
dx + 2x e −x log x − e x . (4.79)
Una soluzione particolare di (4.76), e precisamente quella che si annulla
insieme con la sua prima derivata per x = 0 (vedi tesi) è la seguente:
p0 = 1
x
e
x e−x
2 2x − 1
dx −
x
1
4 ex
1 1 1
+ + x −
4 2 2 x2
e −x . (4.80)
Segue per la (4.75) che la funzione di Green può porsi sotto la forma:
G(x, ξ) = 4ξ e −ξ p0(x) + ai(ξ) χ(x) + bi(ξ)χ1(x), (4.81)
364