Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Sarà in conseguenza:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
e a P1 + b P2 + c P3 = lim
ɛ→0 (1 + ɛ (a P1 + b P2 + c P3)) 1/ɛ
e a causa della (3.423),
U(x, λ, µ, ν) = U
= lim
ɛ→0 (U(x, ɛa, ɛb, ɛc)) 1/ɛ = lim
ɛ→0 U(x, ɛa, ɛb, ɛc) 1/ɛ
= lim
ɛ→0 U ((1, 0, 0, 0) + ɛ(0, a, b, c)) 1/ɛ = U
e (0,a,b,c)
e (0,a,b,c)
= e a P1 + b P2 + c P3 , (3.427)
ferme restando le (3.424). Segue che basta conoscere le matrici P1, P2, P3
per avere la rappresentazione di tutto il gruppo U(2). Le matrici P1, P2, P3
non possono tuttavia scegliersi ad arbitrio; in primo luogo perché togliendo,
per ragioni di continuità, la limitazione (3.425) uno stesso elemento di
U(2) può essere rappresentato con differenti terne (a, b, c), (a ′ , b ′ , c ′ ), . . ., e
deve essere identicamente, per l’univocità della rappresentazione:
e a P1 + b P2 + c P3 = e a ′ P1 + b ′ P2 + c ′ P3 = . . . . (3.428)
e in secondo luogo occorre che al prodotto di due elementi corrisponda il
prodotto delle trasformazioni corrispondenti. Supponiamo la prima condizione
soddisfatta, sarà allora per t = 0:
U
e (0,at,bt,ct) e (0,a′ t,b ′ t,c ′ t)
Poniamo:
= e (a P1 + b P2 + c P3)t e (a ′ P1 + b ′ P2 + c ′ P3)t .
(3.429)
e (0,at,bt,ct) e (0,a′ t,b ′ t,c ′ t) = e (0,x,y,z) . (3.430)
Le x, y, z saranno funzioni di t che possono determinarsi in infiniti modi
mediante (3.423) e (3.424); ma a cui imporremo la condizione della continuità
e x = y = z = 0 per t = 0. La (3.429) diventa a causa della
(3.427):
e x P1 + y P2 + z P3 = e (a P1 + b P2 + c P3)t e (a ′ P1 + b ′ P2 + c ′ P3)t . (3.431)
Sviluppando la (3.430) in serie si ricava:
1 + xP1 + yP2 + zP3 + 1 2 2
x P1 + y
2
2 P 2 2 + z 2 P 2 3
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