Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Si può così calcolare φ(α) per α intero; ma l’uso ripetuto della (3.277)
permette di calcolare tale funzione per tutti i valori della variabile indipendente
del tipo α/(1 + nα), con α e n interi. Escludendo il caso triviale
α = 0, si ha per ogni valore di n e al variare di α tra 1 e ∞, un gruppo
discreto di valori della variabile indipendente per i quali è possibile calcolare
la funzione; il più piccolo di tali valori è 1/(n + 1), e il loro limite
superiore è 1/n. L’insieme dei valori per i quali la funzione si può calcolare
ammette quindi un insieme discreto di punti limiti della forma 1/n; non
è quindi possibile valutare l’intera funzione in base alle considerazioni che
precedono e alla continuità.
Se si vuol conoscere il valore di φ(α) per un valore arbitrario di α, applicando
la (3.277) ci si può sempre ridurre al caso α < 1, in quanto sarà
sempre α/(1 + α) < 1. Applicando due volte la (3.277) ci si porta al caso
α < 1/2. Si può allora utilizzare la seguente tavola: 70
α φ(α)
0 0.50000
0.02 0.50500
0.04 0.51000
0.06 0.51498
0.08 0.51994
0.10 0.52488
0.12 0.52979
0.14 0.53467
0.16 0.53951
0.18 0.54431
0.20 0.54907
0.22 0.55378
0.24 0.55843
Per α piccolo, giova lo sviluppo:
φ(α) = 1
2
α φ(α)
0.26 0.56304
0.28 0.56759
0.30 0.57201
0.32 0.57652
0.34 0.58089
0.36 0.58521
0.38 0.58946
0.40 0.59366
0.42 0.59779
0.44 0.60186
0.46 0.60587
0.48 0.60982
0.50 0.61371
1 1
+ α −
4 8 α3 + 1
4 α5 − 17
16 α7 + . . . . (3.287)
Sostituendo la (3.275) nella (3.274), si ricava:
y(k) = π
2 2
− φ
sin
2 k + 1 k + 1
(k + 1)π
. (3.288)
2
70 Nel manoscritto originale, nella tabella vengono riportati solo i valori corrispondenti
a α = 0, α = 0.40, e α = 0.50.
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