Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

cioè:
In altre parole:
y(k) = π
2
y(k) = π
2
− 2
Volumetto 3: 28 giugno 1929
1
k + 1
− sin (k + 1) π
2
− 1
k + 3
+ 1
k + 5
∞
Consideriamo la funzione definita per α positivo:
φ(α) = 1 − 1
1 + α +
per α = 0 porremo:
1
1 + 2α −
0
2(−1) r
. (3.273)
(k + 1) + 2r
− . . . sin
1
1 + 3α
(k + 1)π
. (3.274)
2
+ . . . , (3.275)
φ(0) = lim φ(α) =
α→0 1
.
2
Tale funzione è sempre crescente e compresa fra 1/2 e 1.
Da notare l’identità:
(3.276)
φ(α) + 1
1 + α φ
α
1 + α
= 1, (3.277)
che permette di determinare lo sviluppo in serie di φ(α) per α → 0. Si può
anche porre φ(α) sotto forma integrale:
φ(α) =
e si deducono come casi particolari:
1
0
dx
, (3.278)
1 + xα φ(0) = lim φ(α) =
α→0 1
π
, φ(1) = log 2, φ(2) = . (3.279)
2 4
Per α intero si ha:
1
1 + xα =
1
1 − x δ +
1
1 − x δ3 + . . . +
1
1 − x δ2α−1
1
,
α
(3.280)
essendo δ = e iπ/α , cioè la prima radice α-esima di −1. L’equazione (3.280)
si dimostra immediatamente sviluppando i due membri in serie di potenze
di x o di 1/α, secondo che α sia minore o maggiore di 1.
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