Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 5
in cui, ricordiamo, ψ è un generico vettore che si trasforma secondo D1/2
(ψ ′ = (S † ) −1 ψ) e φ un vettore che si trasforma secondo D ′ 1/2 (φ ′ = Sφ).
Si trasformi ψ secondo D1/2, e sia inoltre funzione di ct, x, y, z; allora
φ =
1 ∂ ∂
−
c ∂t ∂x σx − ∂
∂y σy − ∂
∂z σz
ψ (5.28)
si trasforma secondo D ′ 1/2. Infatti sia χ un vettore costante del tipo D1/2.
Moltiplicando a sinistra i due membri di (5.28) per χ † ricaviamo:
χ † φ = 1 ∂
χ
c ∂t
†
φ + ∂
−χ
∂x
†
σxψ
(5.29)
+ ∂
−χ
∂y
†
σyψ + ∂
−χ
∂z
†
σzψ . (5.30)
Per la prima delle (5.27) (che valgono naturalmente anche se a ψ † o φ †
si sostituiscono vettori che si trasformino allo stesso modo), il secondo
membro della (5.30) è la divergenza di un vettore, quindi un invariante.
Segue che è invariante χ † φ, cioè
qualunque sia χ, donde:
χ † S −1 φ ′ = χ † φ (5.31)
φ ′ = S φ, (5.32)
come si voleva dimostrare.
Analogamente, se φ si trasforma secondo D ′ 1/2, allora
1 ∂ ∂ ∂ ∂
ψ = + σx + σy +
c ∂t ∂x ∂y ∂z σz
φ (5.33)
si trasforma secondo D1/2.
Nelle equazioni di Dirac
W e
+
c c A0
ψ + σ· p + e
c A
ψ + mc φ = 0,
W
c
e
+
c A0
φ − σ· p + e
c A
φ + mc ψ = 0,
(5.34)
la prima coppia ψ si trasforma secondo D1/2, e la seconda coppia φ secondo
D ′ 1/2. Le (5.34) si scrivono compendiosamente:
W e
+
c c A0
ψ + ρ3 σ· p + e
c A
ψ + ρ1 mc ψ = 0. (5.35)
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