Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 5
Dall’equazione di continuità (5.209), ricaviamo in analogia a (5.207):
φ0 =
c
2π ν i div A0. (5.264)
5.12 Autofunzioni dell’idrogeno
Nelle unità elettroniche si ha:
e posto ψ = (y/r) ϕ m ℓ :
A) Spettro discreto:
essendo
y ′′ +
E = − 1
2
∆ ψ +
N y = A r ℓ+1
A = −
2E + 2
r
2E + 2
ψ = 0, (5.265)
r
ℓ(ℓ + 1)
−
r2
y = 0. (5.266)
1
, n = ℓ + 1, ℓ + 2, . . . , (5.267)
n2 C
t + 1
n
ℓ−n
t − 1
n
n
2ℓ+1 n + ℓ
2πi
2
2ℓ + 1
Ed eseguendo l’integrazione con il metodo dei residui
N y =
n−ℓ−1
p=0
(−1) p (n − ℓ − 1)(n − ℓ − 2)· · ·(n − ℓ − p)
(2ℓ + 2)(2ℓ + 3)· · ·(2ℓ + 1 + p)
× rℓ+1+p
p!
ℓ+n
e tr dt, (5.268)
. (5.269)
p 2
n
e −r/n . (5.270)
La costante di normalizzazione è data da:
N 2 =
(2ℓ + 1)!
2ℓ+1 2ℓ+4
(n − ℓ − 1)! n
.
(n + ℓ)!
(5.271)
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