Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 1: 8 marzo 1927
O
l
1.31 Propagazione del calore posto in una
sezione di una sbarra indefinita, di
cui un’altra sezione è tenuta a zero.
Similitudine dei grilli.
Si supponga che N individui siano inizialmente concentrati nel punto O
della retta x e che ognuno di essi ad intervalli di tempo infinitesimi dt
salti, con pari probabilità a destra o a sinistra, di un intervallo dx in
modo che sia finito il rapporto dx 2 /dt = µ 2 . Si supponga ancora che a
una distanza ℓ a destra di O esista un trabocchetto mortale. Si tratta di
determinare quale sarà al tempo t e nel punto di ascisse x la densità lineare
dei sopravviventi U(x, t). Si osservi che se non esistesse il trabocchetto si
avrebbe una densità, che per distinguere da quella vera chiameremo U0,
data dall’espressione:
U0(x, t) =
P
N
µ √ 2πt e−x2 /2µ 2 t . (1.266)
Si osservi inoltre che gli individui che in P vengono a mancare possiamo
considerarli vivi e saltellanti anche dopo la morte purché, a partire da
questo istante, si leghi indissolubilmente a ognuno di essi un altro individuo
affetto da segno negativo. Allora per avere la densità vera U, basterà
sottrarre a U0 la densità U1 degli individui negativi. Questa si calcola
facilmente; basta osservare che per x > ℓ si ha evidentemente:
e, per ragioni di simmetria, se x < ℓ:
U1(x, t) = U0(x, t) (1.267)
U1(x, t) = U1(2ℓ − x, t) = U0(2ℓ − x, t) (1.268)
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x