Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

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Volumetto 4: 24 aprile 1930
f ′ (r) − l
r f(r)
(l − m + 1)(l − m + 2)
(2l + 1)(2l + 3)
ϕ m−1
l+1 ,
∂ ∂
+ i f(r) ϕ
∂x ∂y
m l
= f ′ l + 1
(r) +
r f(r)
(l − m)(l − m − 1)
(2l + 1)(2l − 1) ϕm+1 l−1 ,
− f ′ (r) − l
r f(r)
(l + m + 1)(l + m + 2)
(2l + 1)(2l + 3)
∂
∂z f(r) ϕm l
=
f ′ l + 1
(r) +
r f(r)
+
f ′ (r) − l
r f(r)
(l + m)(l − m)
(2l + 1)(2l − 1) ϕm l−1
(l + m + 1)(l − m + 1)
(2l + 1)(2l + 3)
ϕ m+1
l+1 ,
ϕ m l+1.
(4.436)
Se u è una funzione a un valore, poniamo ψ = (ψ1, ψ2, ψ3) = grad u, se
ψ1 = − 1
∂u ∂u
√ − i
2 ∂x ∂y
ψ2 = ∂u
ψ3 =
∂z
1 ∂u ∂u
√ + i .
2 ∂x ∂y
(4.437)
Segue dalle formole precedenti e dalle (4.377):
grad f(r) ϕ m l =
l
f
2l + 1
′ l + 1
(r) +
r f(r)
l + 1
−
f
2l + 1
′ (r) l
r f(r)
(continua nel §4.29).
437
ϕ m l,l+1
ϕ m l,l−1
(4.438)