Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
essendo Pn un polinomio intero omogeneo di grado n in x e y. Poiché
∆ 2 V = 0, si ricava:
∆ 2 Pn = 0, (2.8)
cioè Pn è una funzione armonica. Ora Pn ha n+1 coefficienti, mentre ∆ 2 Pn
che è un polinomio di grado n − 2, ne ha n − 1, legati da relazioni lineari
a quelli di Pn e che devono annullarsi; segue che solo due dei coefficienti
di Pn possono essere scelti in modo arbitrario, salvo P0 che è una costante
arbitraria. L’espressione più generale di Pn è dunque
Pn = an P ′ n + bn P ′′
n , (2.9)
essendo P ′ n e P ′′
n due polinomi noti, interi ed omogenei di grado n. Ora
possiamo porre
e quindi
Pn = r n µn(ϕ), P ′ n = r n µ ′ n(ϕ), P ′′
n = r n µ ′′ n(ϕ) (2.10)
µn(ϕ) = an µ ′ n(ϕ) + bn µ ′′ n(ϕ). (2.11)
Ora nella scelta di P ′ n e P ′′
n esiste sufficiente arbitrarietà per supporre che
µ ′ n e µ ′′ n siano ortogonali nell’intervallo (0, 2π); è facile allora che le µ ′ e le
µ ′′ formino un sistema ortogonale. Basterà provare che se m = n, si ha
sempre
2π
µm µn dϕ = 0, m = n. (2.12)
0
Per far ciò, consideriamo il flusso uscente attraverso un cerchio di raggio r
del vettore
r m µm grad r n µn − r n µn grad r m µm. (2.13)
Ora dalla (2.10), segue:
∂
∂r rm µm = m r m−1 µm
∂
∂r rn µn = n r n−1 µn.
Così il flusso uscente è dato dall’espressione
F = (n − m) r n+m−1
2π
94
0
(2.14)
µm µn dϕ. (2.15)