Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Se vogliamo che le ya siano normalizzate rispetto a da dovrà essere:
∞
−∞
cioè, per le (4.309):
+∞
−∞
y ∗ a(x) dx
y ∗ (ξ) dξ
a+∆
a−∆
∆
−∆
ya(x) da = 1, (4.312)
y(ξ + ɛ) dɛ = 1. (4.313)
Poiché y tende a 0 esponenzialmente per ξ → ∞, il grosso dell’integrale
per ∆ → 0 proverrà dai grandi valori negativi di ξ. L’espressione asintotica
per ξ → ∞ di y sarà della forma:
ξ → −∞ : y ∼ A
2
4√ sin
−ξ 3 (−ξ)3/2
+ α . (4.314)
Per (ɛ piccolo) e ξ → −∞ avremo:
(− ξ − ɛ) 3/2 ∼ (− ξ ) 3/2 − 3
2 ɛ (− ɛ)1/2 + . . . , (4.315)
e quindi:
ξ → −∞ : y(−ξ + ɛ) ∼ A
2
4√ sin
−ξ 3 (−ξ)3/2 − ɛ (− ξ) 1/2
+ α
e così:
∆
−∆
Poniamo:
(4.316)
y(ξ + ɛ) dɛ ∼ (− ξ) −3/4
2
cos
3 (−ξ)3/2 − ∆ (− ξ) 1/2
+ α
2
3 (−ξ)3/2 + ∆ (− ξ) 1/2
+ α . (4.317)
− cos
− ξ = ζ 2 , dξ = − 2 ζ dζ. (4.318)
Avremo, per ξ → −∞:
y ∼ A
2
√ sin
ζ 3 ζ3 ∆
y(ξ + ɛ) dɛ
−∆
∼
+ α ,
1
ζ
(4.319)
3/2
2
cos
3 ζ3
− ∆ ζ + α
2
− cos
3 ζ3
+ ∆ ζ + α . (4.320)
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