Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Avremo
e al limite per x grandissimo,
Volumetto 2: 23 aprile 1928
u ′′ + u ′2 = x (2.74)
u ′ = ± √ x. (2.75)
Il segno superiore corrisponde a soluzioni infinite d’ordine infinitamente
grande, mentre il segno inferiore corrisponde a soluzioni infinitesime d’ordine
infinitamente grande. Ora si constata facilmente che lo sviluppo di u
secondo le potenze discendenti di √ x è identico, a meno di una costante
additiva, per tutte le y che tendono all’infinito; segue che il limite del
rapporto tra due soluzioni che tendono all’infinito è una costante diversa
da zero. Ma se y ha la forma (2.71) abbiamo:
lim
x→∞
y
M
= lim y → ∞ = M − λN
M
= 0, (2.76)
e y tende quindi a zero d’ordine infinitamente grande. Per determinare λ
cominciamo a porre:
ϕ(0) = 1; ϕ(3) = 1
; ϕ(3n) =
2·3
Allora avremo
1
. (2.77)
2·3·5·6·s(3n − 1)·(3n)
M = ϕ(0) + ϕ(3) x 3 + ϕ(6) x 6 + ϕ(9) x 9 . . . (2.78)
Possiamo definire ϕ(x) per ogni x > −2 valendoci dell’equazione funzionale:
ϕ(x + 3) =
ϕ(x)
(x + 2)(x + 3)
(2.79)
e stabilendo di calcolare ϕ(x) al limite per x grandissimo mediante interpolazione
lineare logaritmica fra ϕ(3n) e ϕ(3n + 3) essendo 3n < x < 3n + 3.
Al limite avremo evidentemente:
o più generalmente
x 2/3 ϕ(x + 1)
ϕ(x)
lim x2α/3 ϕ(x + α)
ϕ(x)
104
= 1 (2.80)
= 1, (2.81)