Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Chiameremo F r l’operatore che trasforma u in una funzione v:
v(x, y, z) = F r u(x, y, z) (4.255)
definita dallo sviluppo in integrale di Fourier:
v(γ1, γ2, γ3) =
λ r α(x, y, z) e 2πi (γ1x + γ2y + γ3z)
dγ1 dγ2 dγ3,
essendo:
λ = 1
γ =
1
γ 2 1 + γ 2 2 + γ 2 3
(4.256)
(4.257)
la lunghezza d’onda di ogni componente armonica (γ1, γ2, γ3). Valgono
evidentemente le proprietà
F r F s = F s F r = F r+s , F 0 = 1. (4.258)
Salvo eventuali difficoltà di convergenza potremo porre
v(x, y, z) =
Kr(x, y, z; x ′ , y ′ , z ′ ) u(x ′ , y ′ , z ′ ) dx ′ dy ′ dz ′ . (4.259)
Sostituendo nell’espressione (4.256) di v(x, y, z) il coefficiente a(γ1, γ2, γ3)
mediante la sua espressione (4.254) troviamo:
v(x, y, z) = λ r e 2πi γ1(x − x ′ ) + γ2(y − y ′ ) + γ3(z − z ′ )
da cui
Kr(x, y, z, x ′ , y ′ , z ′ ) =
essendo
× u(x ′ , y ′ , z ′ ) dγ1 dγ2 dγ3 dx ′ dy ′ dz ′ , (4.260)
λ r e 2πi (γ1ξ + γ2η + γ3ζ) dγ1 dγ2 dγ3, (4.261)
ξ = x − x ′ , η = y − y ′ , ζ = z − z ′ . (4.262)
Eseguendo l’integrale (4.261) dapprima su una sfera di raggio D = 1/λ =
γ 2 1 + γ 2 2 + γ 2 3 e ponendo
R = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 , (4.263)
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