Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
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H 2
λ
La condizione (4.211) essendo riempita, sarà H 1 λ una soluzione di (4.204).
In modo analogo si definisce H 2 λ sul cammino di sinistra. Per x reale si ha
H 1 λ = H 1∗
λ e in generale, come si deduce dal comportamento per x → 0:
Iλ = 1
2 (H1 λ + H 2 λ), Nλ = 1
2i (H1 λ − H 2 λ), (4.213)
essendo Iλ e Nλ funzioni rispettivamente di Bessel e di Neumann. Segue
per x reale:
H 1 λ(x) = Iλ(x) + i Nλ(x); (4.214)
e saranno Iλ e Nλ due soluzioni reali di (4.204), la prima regolare per x = 0
e la seconda in quadratura con la prima, per x → ∞.
Vogliamo ora calcolare l’andamento asintotico di H 1 λ(x) per x → ∞ (x
reale). Poniamo
+ 1
H 1
λ
t = 1 + i s
, (4.215)
x
t 2 − 1 = 2i s
x
s2
− , (4.216)
x2 s andrà da ∞ a 0 e poi da 0 a ∞; giusta le convenzioni fatte log(t 2 − 1)
avrà nel primo tratto il suo valore principale diminuito di 2π, e nel secondo
tratto il suo valore principale (cioè parte immaginaria in valore assoluto
π). Segue, dopo varie trasformazioni
H 1 λ(x) =
2 exp {i (x − λπ/2 − π/4)}
πx Γ (λ + 1/2)
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