Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Perché le αi+2 siano Hermitiane si richiede solo che lo siano le γi, e con ciò
il nostro problema è pienamente ricondotto a quello analogo con n ′ = n/2
e p ′ = p − 2. Se ancora p ′ > 2, si può procedere finché si ricade in uno
dei casi già noti: n dispari in cui si hanno n + 1 soluzioni fondamentali se
contemporaneamente è p = 1, mentre altrimenti non se ne hanno, oppure
p ′ ≤ 2 che abbiamo risolto sotto 1) e 2).
Abbiamo così risolto il problema ottenendo un procedimento che permette
di costruire tutte le possibili soluzioni fondamentali. La risposta
generale sulla possibilità e numero delle soluzioni suona ovviamente:
Posto p sotto la forma p = 2k oppure p = 2k + 1, il problema ammette
soluzioni solo se n è divisibile per 2 k e precisamente ne ammette una sola se
p è pari mentre se p è dispari ne ammette (n/2 k )+1. Come casi particolari
si hanno le conclusioni già segnalate per p = 1 e p = 2.
Come caso particolare possiamo considerare quello in cui p ha il valore
massimo possibile, essendo dato n. La risposta suona: sia t l’esponente
di 2 nella scomposizione in fattori primi di n; si avrà: pmax = 2t + 1 e il
numero delle soluzioni fondamentali è (n/2 t ) + 1 ≥ 2, (valendo il segno di
uguaglianza solo se n è potenza intera di 2).
Operatori non Hermitiani. Togliamo la restrizione che α1, α2, . . . , αp
siano operatori Hermitiani. Ascriveremo allora a un’unica soluzione fondamentale
tutte le soluzioni che si ottengono l’una dall’altra, per trasformazione
qualunque di coordinate. Cioè data una soluzione αi riguarderemo
come equivalente la soluzione α ′ i = SαiS −1 , in cui S è un operatore
qualunque con determinante diverso da zero. Per la rappresentazione delle
αi scegliamo un sistema non normale di coordinate procedendo esattamente
come nel caso precedente, tolta dove occorre la condizione di ortonormalità
dei vettori fondamentali e sostituita con quella di “indipendenza”. Giungiamo
allora alle stesse matrici Hermitiane che abbiamo ottenuto prima:
soltanto non essendo normale il sistema di coordinate, esse non rappresentano
in generale operatori Hermitiani. Tornando alle coordinate normali, le
matrici degli operatori Hermitiani si ottengono per trasformazione unitaria
da certe fondamentali, mentre le matrici degli operatori non Hermitiani si
ottengono per trasformazione non unitaria delle stesse fondamentali; tali
matrici non saranno in generale Hermitiane.
Esempi. Diamo alcuni esempi di matrici fondamentali limitatamente al
caso: n = 2 t , p = 2t + 1 in cui p ha dunque il valore massimo possi-
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