Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 5
Presenta un grande interesse pratico il caso che il sistema irradiante sia di
dimensioni atomiche e assai piccolo rispetto alla lunghezza d’onda irradiata
(2π/k0). Si può allora calcolare in prima approssimazione la w Y j,m sostituendo
sotto l’integrale le funzioni di Bessel che figurano nelle espressioni
della w Y j,m) con il primo termine del loro sviluppo in serie, purché si intenda
beninteso che il sistema irradiante sia posto in prossimità dell’origine. Nel
caso dei multipli elettrici figurano sotto l’integrale delle funzioni di Bessel di
ordine j+3/2 accanto ad altre di ordine j−1/2; si possono allora trascurare
le prime e conservare il primo termine dello sviluppo delle seconde. Ci
interessano solo funzioni di Bessel di ordine n + 1/2 con n intero. Per
queste si ha in prima approssimazione:
In+1/2 =
=
2 2
π
n ·n!
(2n + 1)! xn+1/2 + . . .
2
1 ·
π
1
1 1
· · · · x
3 5 2n + 1
n+1/2 + . . . . (5.252)
Ricaviamo così le formole di prima approssimazione:
w E j,m = 1 · 1
w M j,m = 1 · 1
1 1
· · · ·
32 52 (2j − 1) 2
j + 1
· 8π c
2j + 1
2j 2πν
×
r
c
j−1 ϕ m†
j,j−1 · I0
2
dq
, (5.253)
1 1
· · · · · 8π c
32 52 (2j + 1) 2
2j+2 2πν
×
r
c
j ϕ m†
2
j,j · I0 dq
. (5.254)
La (5.253) può porsi in una forma diversa, che è in generale più comoda per
il calcolo e in cui figura solo la densità di carica ρ0 in luogo della densità di
corrente. Passando infatti alle coordinate cartesiane la funzione integranda
in (5.253) può scriversi:
r j−1 ϕ m†
j,j−1 · I0 = r j−1 ϕ m∗
j,j−1 · I0
ed osservando che per una formola generale [v. (4.436)] si ha:
(5.255)
grad r j ϕ m j = j(2j + 1) r j−1 ϕ m j,j−1, (5.256)
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