Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
detto nella precedente digressione risulta che dovrà essere div ψ = 0, cioè
nella nostra rappresentazione:
− 1
∂ ∂
√ + i ψ1 +
2 ∂x ∂y
∂
∂z ψ2 + 1
∂ ∂
√ − i ψ3 = 0. (4.396)
2 ∂x ∂y
Una soluzione di (4.389) appartenente a dati valori di j e m potrà porsi
nella forma
ψ = u
r ϕm j,j−1 + i v
r ϕm j,j + w
r ϕm j,j+1. (4.397)
A causa di (4.394), possiamo prevedere che u, v, w sono, a meno del
fattore comune √ r e a meno di fattori costanti, funzioni di Bessel o di
Hankel di ordine rispettivamente j − 1/2, j + 1/2, j + 3/2. In realtà sostituendo
mediante (4.397) in (4.389) e tenendo conto di (4.388), (4.387), e
(4.381), troviamo: 38
j + 1
k u +
v
2j + 1
′ + j
r v
= 0
j + 1
k v −
u
2j + 1
′ − j
r u
j
−
2j + 1
j
k w +
v
2j + 1
′
j + 1
− v = 0.
r
w ′ +
j + 1
r w
= 0 (4.398)
Da questo segue, per k = 0 (combinando la prima e la terza delle (4.398)
e le loro derivate)
j u ′ − j
r u
−
j + 1 w ′ j + 1
+
r w
= 0, (4.399)
che è una traduzione nel nostro caso particolare della (4.396). Dati i valori
iniziali di u e v, ad esempio, restano determinate algebricamente da (4.398)
e (4.399) w, u ′ , v ′ , w ′ , cosicché il sistema (4.398) ammette due sole soluzioni,
indipendenti. Possiamo eliminare w ′ + (w/r)(j+1) mediante la (4.399).
Troviamo
k u +
k v −
j + 1
v
2j + 1
′ + j
r v
2j + 1
j + 1
u ′ + j
r u
= 0
= 0.
(4.400)
38∗ Per j = 0, u e v non esistono e si ha semplicemente kw = 0 o, per k = 0,
w = 0.
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