Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.5 Funzione di Green per l’equazione
differenziale y ′′ + (2/x − 1) y + φ(x) = 0
L’equazione differenziale
y ′′ +
con le condizioni ai limiti
2
x
− 1 y = − φ(x), (4.66)
y(0) = y(∞) = 0, (4.67)
ammette soluzioni nel campo [0, ∞) solo se −φ(x) è ortogonale alla soluzione
χ dell’equazione (resa) omogenea:
χ ′′ +
2
x
− 1 χ = 0, (4.68)
con la condizione ai limiti (4.67). Una soluzione non nulla di (4.68) esiste
ed è, normalizzata,
χ = 2x e −x . (4.69)
Segue che se φ(x) è una qualsiasi funzione continua, l’equazione differenziale:
y ′′
2
+ − 1 y = − φ(x) + 4x e
x −x
∞
φ(x) x e
0
−x dx (4.70)
ammette soluzioni soddisfacenti a (4.67). Possiamo porre
y(x) = G(x, ξ) φ(ξ) dξ. (4.71)
Tanto y che G(x, ξ), quest’ultima riguardata come funzione di x per ogni
valore di ξ, sono definite a meno di una funzione proporzionale a χ. Toglieremo
ogni arbitrarietà imponendo che G, e di conseguenza y, sia ortogonale
a χ. Allora la funzione di Green G(x, ξ) è necessariamente simmetrica in
x e ξ. Ponendo
L = d2
+
dx2 363
2
x
− 1 , (4.72)