Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
Resta da determinare a1 in base alla condizione di ortogonalità:
χ(x) G(x, ξ) dx = 0.
Si trova:
a1 =
1
2
5
+ ξ − ξ2 e
2 −ξ − C ξ e −ξ − ξ e −ξ log 2ξ, (4.89)
con C costante di Eulero.
Sostituendo in (4.87) e in (4.88) si hanno le espressioni definitive per la
funzione di Green:
G(x, ξ) = e −ξ e −x ξ + x + (7 − 2C) ξ x − 2 ξ 2 x − 2 ξ x 2
+ 2ξ e −ξ xe −x
x
0
e 2x − 1
dx
x
− ξ e −ξ e x − 2ξ e −ξ x e −x log 2ξ, x < ξ; (4.90)
G(x, ξ) = e −ξ e −x ξ + x + (7 − 2C) ξ x − 2 ξ 2 x − 2 ξ x 2
+ 2ξ e −ξ xe −x
ξ
0
e 2ξ − 1
dξ
ξ
− x e −x e ξ − 2ξ e −ξ x e −x log 2x, x > ξ. (4.91)
La G(x, ξ) è, come deve essere, simmetrica in x e ξ, poiché (4.91) si ottiene
da (4.90) scambiando x e ξ.
4.6 Su uno sviluppo in serie del logaritmo
integrale
Il logaritmo integrale è definito dalla relazione
essendo: 32
Ei(−x) = − A(x), (4.92)
A(x) =
∞
x
e −ξ
ξ
dξ. (4.93)
32 Questa funzione è anche nota come funzione gamma incompleta Γ(0, x).
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