Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

si ha:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
δH11 = − 1
2mc2
y 1∗ (Wn − V ) 2 y 1 dτ
− 2
4m2c2
y 1∗ grad V × grad y 1 dτ (3.569)
+ i2
4m2c2
y 1∗
∂V ∂y
∂x
1
∂V ∂y
−
∂y ∂y
1
dτ. (3.570)
∂x
Uscendo dall’ipotesi che non esista degenerazione, y 1 dovrà essere reale
onde si confonde con y 1∗ ; allora in (3.569) il secondo integrale si semplifica
mediante integrazione per parti mentre il terzo va a zero; e si ha semplicemente:
δH11 = − 1
2mc 2
(Wn − V ) 2 (y 1 ) 2 dτ + 2
8m 2 c 2
(y 1 ) 2 ∆ V dτ,
(3.571)
intendendo naturalmente che dove V ha una singolarità di tipo −k/r,
(y
∆τ
1 ) 2 ∆ V dτ estesa a uno spazio infinitesimo ∆τ intorno alla singo-
larità sia uguale a 4π k (y 1 ) 2 (P0). L’espressione di δH22 si ottiene da
(3.569) cangiando i in −i nel terzo integrale e poiché questo è nullo coincide
con quella (3.571) di δH11.
Calcoliamo δH12. Avremo:
δH12 =
=
=
i
4m 2 c 2
−
i
4m 2 c 2
−
i 2
4m 2 c 2
p∗ x + ip ∗ 1∗ 1
y y (Wn − V ) pz y dτ
p ∗ z y 1∗ (Wn − V ) (px + ipy) y 1
dτ
y 1∗ (px + ipy) (Wn − V ) pz y 1 dτ
y 1∗ pz (Wn − V ) (px + ipy) y 1
dτ
y 1∗
1
∂V ∂V ∂y
+ i
∂x ∂y ∂z
− ∂V
1
∂y ∂y1
+ i dτ. (3.572)
∂z ∂x ∂y
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