Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
e poiché nel nostro caso n = 1, j = 1/2, segue la (3.578). La correzione
relativistica (falsa) senza elettrone rotante si avrebbe ponendo in (3.579) e
in (3.580) il quanto azimutale k in luogo di j. Nel nostro caso k = 0 e si
avrebbe in prima approssimazione δWn = −(5/2)Wn/mc 2 , come si è già
trovato. La (3.580) si può scrivere, poiché
sotto la forma:
W = −
R hZ2
n 2
Wn = RhZ2 1
=
n2 2n2 α2mc 2 Z 2
− Z2 α 2
n 3
1
j + 1/2
3
− R h. (3.581)
4n
Passiamo al caso del campo centrale e sia Wn degenerato per rotazione
e precisamente multiplo 2k + 1 volte se k > 0 è il quanto azimutale. Le
autofunzioni degenerate di prima approssimazione saranno
y 11 , y 21 , . . . , y (2k+1)1 , y 12 , y 22 , . . . , y (2k+1)2 ,
o più comodamente distinguendo le 2kr ′ autofunzioni di Schrödinger mediante
il quanto equatoriale:
y m1 , y m2 , con m = k, k − 1, . . . , −k + 1, −k. (3.582)
La matrice di perturbazione si spezza nella somma di due, di cui la prima
contenente il solo termine diagonale
δH ′ m1,m1 = δH ′ m2,m2 = − 1
2mc2
(Wn − V ) 2 ψ ψ ∗ dτ
+ 2
4m2c2
1 dV 1 d
+
r dr 2
2 V
dr2
ψ ψ ∗ dτ, (3.583)
e dipendente da m è una costante assoluta da aggiungersi agli autovalori
della seconda matrice δH ′′ . Gli elementi di questa sono:
δH ′′
m1,n1 =
4m2c2 uz
1 dV
mn
r dr ψ ψ∗ dτ, (3.584)
essendo uz l’impulso orbitale intorno all’asse z. Analogamente
δH ′′ m1,n2
=
4m2 (−uy
c2 mn + iux mn)
326
1 dV
r dr ψ ψ∗ dτ (3.585)