Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Si noti che, con l’eccezione di S−2, le quantità Sn
funzioni razionali.
Poniamo:
(con n intero) sono
Sn =
∞
a r n x 2r , (2.734)
e sarà sempre (vedi (2.726))
r=0
L’equazione (2.722) si può scrivere, più in generale:
a 0 n = 1. (2.735)
1 d
x
2k (xSn)
dx2k = (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2k + 2) Sn−2k. (2.736)
Segue per la (2.726)
da cui:
a r n (2r + 1)! = (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2r + 2), (2.737)
a r n =
Sn =
(n + 1)n(n − 1)·(n − 2r + 2)
(2r + 1)!
(2.738)
∞ (n + 1)n(n − 1)·s(n − 2r + 2)
x
(2r + 1)!
2r . (2.739)
r=0
L’ultima equazione può essere anche scritta:
Sn =
∞
r=0
n + 1
2r
2r
x
. (2.740)
2r + 1
Per n > −2 intero, la somma si riduce a un polinomio finito. Si trova in
particolare la (2.733) (cfr. la (2.714)):
Sn(1) =
2r≥n+1
r=0
n + 1
2r
222
1
2r + 1
2n+1
= . (2.741)
n + 2