Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
L’Hamiltoniana totale, tenuto conto dell’interazione, diventa:
W =
∞
Hs +
∞ e
mc pi Ci. (2.225)
s=0
Supponiamo che all’origine dei tempi lo spazio Ω sia libero da radiazione;
l’elettrone descriverà, classicamente, un movimento smorzato. Possiamo
ritenere in prima approssimazione che il suo movimento sia periodico; formalmente
basta introdurre nell’Hamiltoniana dei piccoli termini correttivi
dipendenti solo dal tempo e dalle p e q dell’elettrone. Scomponiamo in
armoniche il suo movimento e consideriamone una, diretta secondo l’asse
x. Nello sviluppo di px , di frequenza ν0, comparirà un termine:
i=1
p0x = p0 sin (2π ν0 t + β) . (2.226)
Tralasciando le altre armoniche e fissando l’attenzione sull’oscillatore elettromagnetico
s, l’Hamiltoniana si può scrivere:
W = 1 2
ps + 4π
2
2 ν 2 s q 2 s +
e
mc Cs x p0x
+ termini indipendenti da qs e ps. (2.227)
C s x è la componente del potenziale vettore secondo potenziale!vettore x, e
sarà in un determinato punto dello spazio proporzionale a qs. Poniamo:
C x s = b x s qs. (2.228)
In generale, bs è funzione del posto. Ritenendo che le oscillazioni dell’elettrone
siano di piccola ampiezza rispetto alle lunghezze d’onda emesse,
si può supporre bs costante e uguale al valore che essa assume nel centro
dell’atomo. Il valore medio del suo quadrato vale statisticamente, cioè
quando se ne prenda la media per molte frequenze vicine: 30
b x2
s
= 1 u
3
2 s
q2 s
= 4
3
πc 2
. (2.229)
Ω
Sostituendo nella (2.227) le equazioni (2.228) e (2.226):
W = 1 2
ps + 4π
2
2 ν 2 s q 2 s +
e
mc bsx p0 sin (2πν0t + β) qs
+ terminiindipendenti da qs e ps. (2.230)
30 La seguente formula è ottenuta mediando il quadrato della (2.228) e usando
le equazioni (2.215) e (2.219). Si noti che nel manoscritto originale manca
l’esponente 2 della us.
136