Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

(a) relazioni varie fra ℓ, j, k:
Volumetto 5
σ·L = k − 1
ℓ(ℓ + 1) = (k − 1)k
(j + m)(j − m + 1) = (k + m − 1/2) (k − m + 1/2) (5.148)
(ℓ + m + 1/2) (ℓ − m + 1/2) = (k + m − 1/2) (k − m − 1/2)
(ℓ − a)(ℓ + 1 + a) = (k − 1 − a)(k + a);
(b) matrici di momenti angolari:
(Jx − i Jy) S m k = (k + m − 1/2) (k − m + 1/2) S m−1
k
(Jx + i Jy) S m k = (k + m + 1/2) (k − m − 1/2) S m+1
k
Jz S m k = m S m k ;
(c) legame fra S m k , S m −k, e S −m
k :
(5.149)
S m −k = σz S m k (5.150)
k = i σy (−1) k+ℓ+m−1/2 m ∗
S
S −m
(d) sull’operatore (σ · p): 50
σ·p f(r) S m k =
i
σ·p f(r) S m −k =
i
d
dr
d
dr
k − 1
− f(r) S
r
m −k
k + 1
+ f(r) S
r
m k ;
(e) le funzioni sferiche con spin di ordine più basso:
k = 1; j = 1
, ℓ = 0
2
S 1/2
1 = ϕ 0 0, 0 =
S −1/2
1 = 0, ϕ 0 0 =
1
√4π , 0
0,
k ; (5.151)
1
√ ;
4π
(5.152)
50 Nel manoscritto originale è utilizzata la vecchia notazione h/2π invece di .
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