Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
sostituire in (3.693) le espressioni delle Aj in funzione delle F . Badando
alle equazioni (3.689) e (3.690) segue:
− ∂
∂ps
∂
∂qs
[Fj, Fj ′] =
[Fj, Fj ′] = −
r
c r jj ′
∂Fr
,
∂ps
r
c r jj ′
∂Fr
,
∂qs
(3.707)
o raccogliendo in un’unica equazione vettoriale:
grad [Fj, Fj ′] = − c r jj ′ grad Fr. (3.708)
Poiché le c r jj ′ sono funzioni arbitrarie del posto, il contenuto della (3.708)
si riduce a questo, che spostandosi in un sottospazio a 2n − r dimensioni in
cui tutte le F sono costanti, sono altresì costanti anche tutte le parentesi
di Poisson [Fi, Fj], cioè queste ultime sono funzioni delle F :
r
[Fj, Fj ′] = fjj ′ (F1, F2, . . . Fr) . (3.709)
Se sono soddisfatte le (3.709) il sistema di equazioni differenziali (3.705)
è dunque completo. Esso ammette allora esattamente 2n − r soluzioni indipendenti.
Le r funzioni F1, F2, . . . , Fr, soddisfacenti a (3.709), formano
la base di un gruppo costituito da tutte le funzioni delle F . La parentesi
di Poisson di due funzioni del gruppo, a causa di (3.702) e di (3.709) appartiene
ancora al gruppo.
Lie ha dimostrato che la 2n − r soluzioni di (3.705) che sono presenti
nel caso (3.709) costituiscono anche esse gruppo, valgono cioè per esse
equazioni analoghe alle (3.709). Come caso particolare si ha il noto teorema
che la parentesi di Poisson di due integrali di un problema meccanico è
anche essa un integrale.
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