Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.7 Attrazione di masse lontane
Sia dato un sistema di masse attiranti m1, m2, . . . , mn poste nei punti
P1, P2, . . . , Pn,. Sia O il baricentro del sistema, m la sua massa totale.
Fissiamo un sistema di assi cartesiani con l’origine in 0; il potenziale in un
punto P di coordinate x, y, z sarà
V =
=
n
i=1
n
i=1
mi
mi
(x − xi) 2 + (y − yi) 2 + (z − zi) 2 −1/2
2 2 2 2
x + y + z − 2(xxi + yyi + zzi) + xi + y 2 i + z 2−1/2 i .
Se indichiamo con r la distanza di P da O e con α, β, γ i coseni di direzione
della retta OP , avremo:
V =
n
i=1
= 1
r
2 2
mi r − 2r(αxi + βyi + γzi) + xi + y 2 i + z 2−1/2 i
n
i=1
2
mi 1 − (2/r)(αxi + βyi + γzi) − (xi + y 2 i + z 2 i )/r 2−1/2 .
Se r è infinitamente grande la quantità sotto radice differisce dall’unità
per un infinitesimo dello stesso ordine di 1/r; sviluppando secondo questo
infinitesimo e trascurando sotto il segno di sommatorio gli infinitesimi
d’ordine uguale o superiore al terzo, avremo, poiché tutto il sommatorio
va moltiplicato per 1/r, a meno di infinitesimi del quarto ordine:
V = 1
r
n
i=1
+ 1
r 3
mi + 1
r2 n
mi(αxi + βyi + γzi)
i=1
n
3
mi
2 (αxi + βyi + γzi)2 − 1 2
xi + y
2
2 i + z 2 i
,
i=1
e trasformando l’ultimo termine e notando che
i mi = m e
i
miyi = i
mizi = 0, avremo:
V = m
r
+ 1
r 3
n
i=1
mi
2
xi + y 2 i + z 2 i
13
i mixi =