Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

la soluzione desiderata:
Volumetto 4: 24 aprile 1930
r = |q − q ′ |
ψ(q) = − 1
ikr
e 1
4π r 2
W
c − ρ3
mc
− 1 k + i/r
ρ1 σ·(q − q
r
′
)
P (q ′ ) dq ′ . (4.446)
Cambiando il segno di k si avrebbe la soluzione di (4.440) che all’infinito
rappresenta un’onda convergente.
Supponiamo ora che un’onda piana di elettroni incontri un campo di
potenziale V (se questo deriva da un potenziale scalare sarà V = −eφ).
L’equazione di Dirac si può scrivere
W
c
+ ρ1 σ·p + ρ3 mc
ψ = V
ψ. (4.447)
c
Questa equazione può essere risolta per successive approssimazioni mediante
il metodo di Born, ponendo
ψ = ψ0 + ψ1 + ψ2 + . . . , (4.448)
dove ψ0 è l’onda piana imperturbata e ψ1, ψ2, . . . si calcolano successivamente
risolvendo l’equazione differenziale
W
c + ρ1
σ·p + ρ3 mc ψn = V
c ψn−1 (4.449)
nel modo che si è detto.
Limitiamoci alla prima approssimazione e sia ψ0 un’onda piana diretta
secondo l’asse z:
ψ0 = u e ikz , k = p
, (4.450)
dove u è una funzione di spin che supponiamo normalizzata. Vogliamo
determinare ψ1, a grande distanza R dal punto 0, in prossimità del quale
si trova il campo diffondente, e nella direzione θ, φ. Indichiamo con t
un vettore unitario diretto secondo z e con t1 un vettore unitario diretto
secondo θ, φ. Avremo ψ0(q ′ ) = u exp{ikq ′ ·t} e, per R → ∞:
|q − q ′ | = R − q ′ ·t1, (R → ∞). (4.451)
439