Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Deve quindi mancare la funzione sferica, d’ordine zero. La prima ad apparire
sarà la funzione di secondo ordine che prenderemo sotto la forma:
Y = (x 2 + y 2 − 2z 2 )/r 2 . (3.57)
Noi vogliamo supporre che per tutte le altre sia H = 0. Questo equivale
a supporre che le superfici di egual densità sono in prima approssimazione
degli ellissoidi. Tale ipotesi è evidentemente verificata per la superficie
libera.
L’equazione (3.54) si riduce allora a:
η = H Y, (3.58)
con Y definita dalla (3.57).
Lo schiacciamento della superficie di egual densità e di raggio medio r è
evidentemente:
s = 3H/r. (3.59)
Analogamente supporremo che il potenziale newtoniano sia in prima approssimazione:
V = V0 + L Y. (3.60)
Aggiungendo il potenziale della forza centrifuga si ottiene il potenziale
totale che deve essere considerato per l’equilibrio relativo:
U = V + 1
2 ω2 x 2 + y 2
= V0 + 1
3 ω2 r 2 +
L + 1
6 ω2 r 2
Y . (3.61)
La densità ρ1 del fluido in rotazione sarà in prima approssimazione, a causa
delle equazioni (3.53) e (3.58):
ρ1 = ρ − η ρ ′ = ρ − H ρ ′ Y. (3.62)
Per determinare H e L, che sono attualmente le incognite del nostro
problema, dobbiamo valerci dell’equazione di Poisson e della condizione
che le superfici di egual densità coincidano con le superficie equipotenziali.
L’equazione di Poisson ci dà:
∆ V = − 4π ρ1, (3.63)
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