Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 5
componenti vettoriali giova introdurre grandezze I = (I1, I2, I3) e A =
(A1, A2, A3), che si trasformano esattamente secondo D1:
I1 = 1/ √
2 (−Ix + iIy) , A1 = 1/ √
2 (−Ax + iAy) ,
I2 = Iz, A2 = Az,
I3 =
1/ √
2 (Ix + iIy) , A3 =
1/ √
2 (Ax + iAy) .
(5.210)
Conviene stabilire un opportuno sistema completo di funzioni ortogonali
rispetto a cui una generica funzione vettoriale V = (V1, V2, V3) sia
sviluppabile. Scegliamo perciò le soluzioni regolari di:
∆ V + k 2 V = 0, k > 0, (5.211)
e le numeriamo oltre che con l’indice continuo k con gli indici discreti j e m,
che hanno il significato consueto. È facile vedere che per ogni valore di k e
fissato j (intero) e m esistono tre soluzioni regolari indipendenti di (5.211)
tranne per j = 0, nel qual caso se ne ha una sola. Introducendo infatti il
momento “orbitale” ℓ (in unità ), si hanno evidentemente per ogni valore
di k, 3·(2ℓ + 1) soluzioni indipendenti di (5.211), regolari nell’origine che si
ottengono ponendo una delle componenti di V uguale a
Vi = 1 √ r Iℓ+1/2(kr) ϕ m ℓ
ℓ , i = 1, 2, 3; mℓ = ℓ, ℓ − 1, . . . , −ℓ, (5.212)
e le altre due uguali a zero:
Vi ′ = 0, i′ = i. (5.213)
Queste 3·(2ℓ + 1) funzioni vettoriali si trasformano secondo Dℓ×D1 e si
lasciano quindi esprimere come combinazioni di tre sistemi di funzioni indipendenti
che si trasformano secondo:
Dℓ−1, Dℓ, Dℓ+1
(5.214)
escluso il caso ℓ = 0, in cui sopravvive, dei sistemi (5.214), quello indicato
con Dℓ+1. Ogni rappresentazione irriducibile Dj, con soluzioni regolari di
(5.211) appartenenti a un dato valore di k, si presenta quindi in generale tre
volte, potendo essa derivare da ℓ = j + 1, j, j − 1, tranne nel caso j = 0, in
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