Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

e poiché:
risulta
Volumetto 4: 24 aprile 1930
∆ ξ = 2
2
, ∆ η = , ∆ φ = 0,
r r
|grad ξ| 2 = 2ξ
r , |grad η|2 = 2η
r , |grad φ|2 =
1
r2 ,
− x2 grad ξ · grad η = 0, grad ξ · grad φ = 0, grad η · grad φ = 0,
∆ ψ = 2
r
Ponendo
∂ψ
∂ξ
e sostituendo in (4.17):
∂ψ
+
∂η + ξ ∂2ψ ∂ξ2 + η ∂2ψ +
∂η2 r
2(r 2 − x 2 )
∂ 2 ψ
∂φ2
. (4.21)
ψ = e imφ y(ξ, η) (4.22)
ξ ∂2y ∂ξ2 ∂y
+
∂ξ + η ∂2y ∂η2 ∂y m2
1
+ − (ξ + η) y + (ξ + η) E y
∂η 4ξη 2
+ Z y − F
4
2 2
ξ − η y = 0, (4.23)
che permette l’ulteriore separazione:
essendo 30
ξ P ′′ + P ′ − m2
4ξ
y = P (ξ) Q(η), (4.24)
1 1
F
P + ξ E P + (Z + λ) P −
2 2 4 ξ2 P = 0
η Q ′′ + Q ′ − m2 1 1
F
Q + η E Q + (Z − λ) Q +
4η 2 2 4 η2 Q = 0.
(4.25)
Le (4.25) sono autoaggiunte. Rinunziando a tale condizione si può scrivere
più semplicemente:
P ′′ + 1
ξ P ′
+ − m2 1 Z + λ F
+ E + −
4ξ2 2 2ξ 4 ξ
P = 0
Q ′′ + 1
η Q′
+ − m2 1 Z − λ F
+ E + +
4η2 2 2η 4 η
Q = 0.
30 Si noti che λ è un parametro arbitrario.
355
(4.26)