Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

σ
Volumetto 3: 28 giugno 1929
Se si fa tendere k a zero, la (3.30) si riduce alla (3.9) e la (3.33) alla (3.13).
Sostituendo mediante la (3.30) in (3.34), si ha:
sin kr 2
∆ u + k u dS
S r
= u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r ∂u
dσ
sin kr ,
∂n r2 S
σ
(3.35)
che è una pura identità valevole per una funzione arbitraria u. In particolare
supponiamo nella (3.35) k infinitesimo e sviluppiamo i singoli termini
secondo le potenze di k. Uguagliando gli infinitesimi del primo ordine si
trova:
∂u
∆ u dS = dσ, (3.36)
S
σ ∂n
che esprime il ben noto teorema della divergenza.. Altre identità si ottengono
eguagliando gli infinitesimi di ordine più elevato; per esempio si ha
per gli infinitesimi del terzo ordine:
u − 1
6 r2
1
1
∆ u dS = u r cos α −
3 6 r2
∂u
dσ, (3.37)
∂n
formola di facile verifica diretta quando si badi che
u − 1
6 r2 ∆ u = 1 2 2
u ∆ r − r ∆ u . (3.38)
6
Riprendiamo la (3.31) e facciamo delle approssimazioni. Supponiamo
in primo luogo r grande rispetto alla lunghezza d’onda, con che si può
trascurare l’unità di fronte a ikr; supponiamo inoltre che σ sia una superficie
d’onda di un’onda progressiva, con raggio minimo di curvatura grande
anch’esso rispetto alla lunghezza d’onda; si potrà allora considerare l’onda
come piana per un tratto breve e sarà approssimativamente:
∂u
∂n
= ± i k u, (3.39)
secondo che l’onda si avvicina a P0 o se ne allontana. La (3.31) si riduce
allora con le fatte approssimazioni a:
kr
k i
e−i
u(P0) = u (cos α ± 1) dσ (3.40)
4π
r
σ
234