Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 5
in base alla sua definizione (5.171). Per il calcolo diretto di u(t ′ ) basta
sostituire in (5.169) a p(q ′ , t ′ ) la sua espressione ( + λ)A(q ′ , t ′ ) in base
all’equazione differenziale (5.166).
Sostituendo in (5.172) mediante (5.173), troviamo che anche u(t ′ ) si
esprime come somma di un integrale esteso sulla sfera |q − q ′ | = R = cT e
di un altro integrale preso all’interno della sfera:
u(t ′ ) = 1
4π
− 2c
R 2
− cλ
4π
+
0
∂A(q ′ , t ′ )
∂R
4 3 πc 3 T 3
0
∂
∂x ′
1
cR ∂t ′2
1 λR
+ −
R 8
I1(ω)
4πc 2 T 2
ω
I1(ω)
∂ 2 A(q ′ , t ′ )
− c ∂
R
2 A(q ′ , t ′ )
∂R2 c λA(q ′ , t ′ ) + cλ
2
( + λ) A(q ′ , t ′ )
∂A(q ′ , t ′ )
∂R
dσ
+ λ × A(q ′ , t ′ ) I1(ω) − ωI ′ 1(ω)
ω3
dq ′
(x,y,z)
ω
∂A(q ′ , t ′ )
∂x ′
2 2
4πc T
( + λ) A(q
0
′ , t ′ ) dσ
− cλ
4 πc
3
4π
3 T 3
0
I1(ω)
( + λ) A(q
ω
′ , t ′ ) dq ′ . (5.174)
= 1
4πT
Per la deduzione di questa relazione si è tenuto conto dell’equazione differenziale
a cui soddisfa I1(ω),
I ′′
1 (ω) + 1
ω I′
1(ω) + 1 − 1
ω2
I1(ω) = 0, (5.175)
come anche della (5.170) e delle relazioni:
I1(ω)
lim
ω→0 ω
= 1 I1(ω) − ωI
, lim
2 ω→0
′ 1(ω)
ω3 = 1
. (5.176)
8
Si verifica immediatamente che u(t ′ ) è precisamente la funzione che abbiamo
introdotto più sopra per dedurre (5.171) da (5.169); basta per ciò
introdurre nella (5.169) in luogo di p la sua espressione ( + λ)A, secondo
l’equazione differenziale (5.166). Resta così provato che il secondo membro
di (5.169) vale:
A ′ (q, t) = lim v(t
t ′ →t
′ ) − lim
t ′ v(t
→−∞
′ ). (5.177)
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