Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

S −1/2
−2
S −3/2
−2
Volumetto 5
=
1
2π
3
2 cos2 θ − 1
9
, − sin θ cos θ eiφ
2 8π
=
3
5 ϕ−1
2
2 , −
5 ϕ0
2
=
9
8π sin θ cos θ e−iφ
1
, −
2π
3
2 cos2 θ − 1
2
=
4
5 ϕ−2
1
2 , −
5 ϕ−1
2
=
3
8π sin2 θ e −2iφ
3
, − sin θ cos θ e−iφ ;
8π
(f) matrici di x/r, y/r, z/r rispetto alle funzioni sferiche ordinarie:
x − iy
r
x + iy
r
ϕ m ℓ = sin θ e −iφ ϕ m ℓ = −
ϕ m ℓ = sin θ e iφ ϕ m ℓ =
z
r ϕm ℓ = cos θ ϕ m ℓ =
(ℓ + m)(ℓ + m − 1)
(2ℓ + 1)(2ℓ − 1) ϕm−1 ℓ−1
(ℓ − m + 1)(ℓ − m + 2)
+
(2ℓ + 1)(2ℓ + 3)
(ℓ − m)(ℓ − m − 1)
(2ℓ − 1)(2ℓ + 1) ϕm+1 ℓ−1
(ℓ + m + 1)(ℓ + m + 2)
−
ϕ
(2ℓ + 1)(2ℓ + 3)
m+1
ℓ+1
(ℓ − m)(ℓ + m)
(2ℓ − 1)(2ℓ + 1) ϕmℓ−1
(ℓ − m + 1)(ℓ + m + 1)
+
ϕ
(2ℓ + 1)(2ℓ + 3)
m ℓ+1;
(g) matrici x/r, y/r, z/r rispetto alle funzioni sferiche con spin:
x − iy
r
S m k = − 1
k + m −
2k − 1
1
k + m −
2
3
S
2
m−1
k−1
487
ϕ m−1
ℓ+1