Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 1: 8 marzo 1927
1.43 ∆ in coordinate sferiche
Sia V una funzione di x, y, z, attraverso r, θ, ϕ, essendo:
Poiché valgono le relazioni:
r = x 2 + y 2 + z 2
θ = arccos z/r (1.420)
ϕ = arctan y/r.
|grad r| = 1, |grad θ| = 1
, |grad ϕ| =
r
1
r sin θ
grad r × grad θ = grad θ × grad ϕ = grad ϕ × grad r = 0
si deduce dalla (1.73):
∆ V = ∂2V 2 ∂V
+
∂r2 r ∂r
(1.421)
(1.422)
∆ r = 2
cot θ
, ∆ θ = r r2 , ∆ ϕ = 0 (1.423)
+ 1
r 2
1
sin2 ∂
θ
2 V
∂ϕ2 + ∂2V ∂V
+
∂θ2 ∂θ
91
cot θ . (1.424)