Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.24 Frequenze d’oscillazione
dell’ammoniaca
I tre atomi H occupano i vertici di un triangolo equilatero; l’atomo N
è sull’asse fuori del piano. Gli spostamenti linearmente indipendenti che
danno origine a forze elastiche di richiamo sono sei e si ottengono dai dodici
spostamenti dei quattro atomi con la condizione che la risultante dei vettori
applicati in δPi nei punti di riposo P ′ i sia nulla.
Definiamo lo spostamento q1 = 1, q2 = q3 = . . . = q6 = 0 come quello
in cui l’atomo H 1 si sposta nella direzione NH 1 di MN /(MN + MH) e
l’atomo N nella direzione opposta di una lunghezza MH/(MN + MH).
Analogamente, definiamo gli spostamenti qi = δi2 e qi = δi3. Definiamo
poi come spostamento qi = δi4 quello in cui l’atomo H 3 si sposta di 1/2
nella direzione H 2 H 3 e l’atomo H 2 di 1/2 nella direzione opposta; per
permutazione circolare definiamo infine gli spostamenti qi = δi5 e qi = δi6.
Indichiamo con α l’angolo (nella posizione di equilibrio) NH 1H 2 e con
β l’angolo H1NH 2 . Se D è la distanza di equilibrio NH e d la distanza
H 1 H 2 , sarà:
cos α = d
d2
, cos β = 1 −
2D 2D2 M 2 N MH
(MN + MH) 2
sin 1
d
β = . (4.349)
2 2D
L’energia cinetica è espressa da:
T = 1
2
2
MHMN (MN + MH) 2
2
˙q 1 + ˙q 2 2 + ˙q 2 3 + 2 ˙q1 ˙q2 cos β + 2 ˙q2 ˙q3 cos β
+ 2 ˙q3 ˙q1 cos β) +
2
˙q 1 + ˙q 2 2 + ˙q 2 3
+ MN MH
MN + MH
+ 1
2 MH
cos α
( ˙q1 ˙q5 + ˙q1 ˙q6 + ˙q2 ˙q6 + ˙q2 ˙q4 + ˙q3 ˙q4 + ˙q3 ˙q5)
2
˙q4 + ˙q5 + ˙q6 + 1
2 ˙q4 ˙q5 + 1
2 ˙q5 ˙q6 + 1
2 ˙q6
˙q4 . (4.350)
Assumiamo per semplicità MH = 1 e MN = 14; allora ponendo:
T = 1
bik ˙q1 ˙qk, (bik = bki), (4.351)
2
i,k
422